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typ: WASSERBAU
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titel: erneuerung einer Talsperre
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datum: keine Angabe
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sicherheit: hoch
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# erneuerung einer Talsperre
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 1
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1. AUFGABE (W ASSERBAU)
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Eine Talsperre musste, aufgrund von erkannten Baumängeln, erneuert werden. Dafür
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wurde das Wasser vollständig aus dem Stausee (Abbildung 1) abgelassen. Nach
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Abschluss der Arbeiten soll der Stausee wieder gefüllt werden. Dabei wird
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angenommen, dass der Stausee durch einen einzigen Zufluss gefüllt wird. Das
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Stauziel der Talsperre liegt bei 51 Metern über der Gründungssohle.
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Das 12 Meter breite Rechteckgerinne, welches den Stausee speist, hat eine mittlere
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Rauigkeit von k
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St
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= 45 m
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1/3
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/s. Die mittlere Wassertiefe liegt bei 99 Zentimetern. Das
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Energieliniengefälle kann mit einem Wert von 0,0003 [-] abgeschätzt werden.
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Abbildung 1: Vereinfachter Grundriss des Stausees (nicht maßstabsgetreu!)
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1) Berechnen Sie die Zeitdauer in Stunden, die es dauern würde, den Stausee nur
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mithilfe des natürlichen Zuflusses des Ihnen bekannten Flusses bis zum Stauziel
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zu füllen.
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 2
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Die Krone der Talsperre erstreckt sich über eine Länge von 221 Metern, darin sind fünf
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Hochwasserentlastungen integriert, die vereinfacht als Wehrüberfälle angesehen
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werden können. Diese haben jeweils eine Breite von 5 Metern.
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Aus Messungen erhalten Sie die in Abbildung 2 dargestellte Beziehung zwischen
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Überfallhöhe h
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Ü
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und Abfluss Q
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ges
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aus den Hochwasserentlastungen.
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Abbildung 2: Beziehung zwischen Überfallhöhe h
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Ü
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und Abfluss Q
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ges
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aus den
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Hochwasserentlastungen
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Tabelle 1: Überfallbeiwerte in Abhängigkeit der Wehrkrone (nach Schneider,
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1998: Bautabellen für Ingenieure)
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Ausbildung der Wehrkrone Überfallbeiwert
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scharfkantig 0,50
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rundkronig 0,75
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2) Schätzen Sie anhand der gegebenen Angaben ab, ob die Wehrkronen scharfkantig
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oder rundkronig (siehe Tabelle 1) ausgebildet sind.
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Bearbeitungshinweise zu Wasserbau B – Rechnung:
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- Rechnen Sie auf 3 Nachkommastellen genau!
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- Weitere Zuflüsse in den Stausee können vernachlässigt werden.
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- Gehen Sie davon aus, dass der Abfluss über die gesamte Zeitdauer konstant ist.
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 3
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Ergebnisse:
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Volumen bis Stauziel = 6.172.530 m³
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t = 206.395 h
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B,ges = 25 m
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Q für μ = 0,5: 67,812 m³/s
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Q für μ = 0,75: 101,718 m³/s
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 4
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2. AUFGABE (W ASSERBAU)
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Im Rahmen der Planung einer Renaturierungsmaßnahme erhalten Sie den Auftrag,
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den Abfluss in einem geplanten Fließquerschnitt zu berechnen. Es handelt sich um ein
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Trapezprofil (siehe Abbildung 3). Durch Messungen vor Ort haben Sie die folgenden
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Daten erhalten (siehe Tabelle 2).
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Abbildung 3: Fließquerschnitt
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Tabelle 2: Kenngrößen des Fließgewässers
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Breite der Profilsohle b [m] 6,0
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Fließgefälle I [‰] 0,5
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Strickler-Beiwert kst [m
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1/3
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/s] 40,0
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Böschungsneigung 1:m 1:2
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Wasserstand bei Normalabfluss h [m] 3,5
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Kritische Fließgeschwindigkeit für
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Geschiebetransport [m/s]
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2,0
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Kritische Sohlschubspannung [N/m²] 10,0
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1) Berechnen Sie die fehlenden geometrischen Kenngrößen und ermitteln Sie den
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Normalabfluss bei gegebenem Wasserstand.
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2) Überprüfen Sie, ob eine eindeutige Aussage darüber getroffen werden kann, ob die
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Gewässersohle in Bewegung ist.
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 5
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Im weiteren Verlauf der Planung wird die Rauheit des Gewässers durch
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Sohlauflockerungen und den Einbau von Bepflanzungen in den Gerinneufern
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verändert. Die neuen Strickler-Beiwerte sind in Abbildung 4 dargestellt. Die
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Geometriewerte können aus dem bisherigen Aufgabenteil (s. vorherige Seite)
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übernommen werden.
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Abbildung 4: Fließquerschnitt mit veränderten Rauheiten
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1) Ermitteln Sie den neuen Strickler-Beiwert für den Fließquerschnitt.
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2) Berechnen Sie die prozentuale Änderung der Fließgeschwindigkeit im Vergleich
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zur vorherigen Aufgabe (Aufgabe 2, Frage 1).
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Ergebnisse:
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v = 1,47 m/s
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Q = 66,77 m³/s
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tau = 10,31 N/m²
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kst, ges = 30,14 m^1/3/s
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V nimmt um 25% ab
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 6
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THEORIEFRAGEN (W ASSERBAU )
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1) Was ist die Hauptaufgabe eines Tosbeckens?
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2) Nennen Sie die vier Schritte der Entwicklung eines Altwassers.
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3) Welche Vor- und Nachteile weisen Staudämme gegenüber Staumauern auf?
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Nennen Sie je zwei Beispiele!
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4) Der theoretisch mögliche Wertebereich des Wirkungsgrads ƞ reicht von 0 bis 1
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bzw. von 0 % bis 100 %. Kann in der Praxis ein Wirkungsgrad von 1, bzw. von
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100 % erreicht werden? Begründen Sie Ihre Antwort!
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5) Mit welcher wasserbaulichen Anlage werden in Wasserkraftanlagen die
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Druckstöße in den Rohrleitungen vermindert?
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 7
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1. AUFGABE (W ASSERWIRTSCHAFT )
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In einem kleinen Einzugsgebiet im Sauerland soll die Wasserversorgung einer Stadt
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langfristig sichergestellt werden. Hierfür soll Wasser aus einem nahegelegenen Fluss
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genutzt werden. Zur Umsetzung dieses Vorhabens muss eine neue Talsperre gebaut
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werden. Monatlich sollen aus der Talsperre 190.500 m
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||
3
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Wasser an Industriebetriebe
|
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und 696.500 m
|
||
3
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||
Wasser an Privatverbraucher abgegeben werden (die Abgaben sind
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über das Jahr konstant). Die Talsperre erfüllt darüber hinaus aufgrund von Retention
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auch eine Hochwasserschutzwirkung.
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Aufgaben:
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1. Berechnen Sie zunächst den erforderlichen Nutzraum S
|
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N
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der Talsperre, um die
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abzugebenden Wassermengen zur Verfügung stellen zu können. Nutzen Sie zur
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Berechnung Tabelle 3. In dieser Tabelle finden Sie auch die gegebenen
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monatlichen Zuflüsse. Der Ausgleichsgrad α der Talsperre beträgt 0,84.
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2. Berechnen Sie den aus der Hochwasserschutzwirkung entstehenden Nutzen für
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die Unterlieger der Talsperre. Nutzen Sie hierfür Tabelle 4. Eine
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||
Schadenshochrechnung für ausgewählte Hochwasserscheitel finden Sie in
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Tabelle 5. Gehen Sie wie folgt vor:
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a. Ermitteln Sie zunächst die in Tabelle 5 fehlenden Werte der Schäden mit
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und ohne Talsperre auf Basis der in Tabelle 3 und 4 gegebenen Daten.
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||
Interpolieren Sie linear.
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b. Berechnen Sie die Schadenserwartungswerte mit und ohne Talsperre.
|
||
c. Berechnen Sie den jährlichen Nutzen aufgrund der
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Hochwasserschutzwirkung der Talsperre. Geben Sie das Ergebnis in
|
||
Tausend € an.
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Hinweise:
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− Schäden treten erst ab einem Abfluss von 90 m
|
||
3
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/s auf. Der maximale Schaden
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||
beträgt 4,5 Mio. €.
|
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− Berechnen Sie Aufgabe 2 auf 3 Nachkommastellen genau.
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||
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 8
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||
Tabelle 3: Monatliche Zuflüsse zur geplanten Talsperre.
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||
Monat
|
||
(-)
|
||
Jahr
|
||
(-)
|
||
Monatssumme
|
||
Zufluss
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
Januar 2014 1610,06
|
||
Februar 2014 1215,56
|
||
März 2014 696,73
|
||
April 2014 512,35
|
||
Mai 2014 1042,76
|
||
Juni 2014 968,80
|
||
Juli 2014 859,25
|
||
August 2014 658,20
|
||
September 2014 676,75
|
||
Oktober 2014 1023,59
|
||
November 2014 1560,56
|
||
Dezember 2014 1848,70
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 9
|
||
Tabelle 4: Schadenshochrechnung für ausgewählte Hochwasserscheitel.
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Abfluss
|
||
(m
|
||
3
|
||
/s)
|
||
Schaden
|
||
(Mio. €)
|
||
90,0 0,61
|
||
98,5 0,77
|
||
107,3 1,22
|
||
114,1 1,88
|
||
163,0 4,50
|
||
Tabelle 5: Berechnung der zu erwartenden Schäden
|
||
mit und ohne Talsperre (TS).
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||
Jährlichkeit
|
||
(a)
|
||
Pü
|
||
(1/a)
|
||
HQ ohne TS
|
||
(m
|
||
3
|
||
/s)
|
||
HQ mit TS
|
||
(m
|
||
3
|
||
/s)
|
||
Schaden
|
||
ohne TS
|
||
(Mio. €)
|
||
Schaden
|
||
mit TS
|
||
(Mio. €)
|
||
2 0,5 66,0 0,0 0,000 0,000
|
||
5 0,2 82,7 0,0 0,000 0,000
|
||
10 0,1 90,5 23,5 0,619 0,000
|
||
20 0,05 98,0 32,2 0,761 0,000
|
||
50 0,02 107,9 51,7 1,278 0,000
|
||
100 0,01 115,5 60,3 0,000
|
||
200 0,005 123,2 102,6 2,368
|
||
500 0,002 140,5 132,4 3,294 2,860
|
||
1000 0,001 155,8 155,8 4,114 4,114
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 10
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||
Ergebnisse:
|
||
Abgabe insgesamt = 887 10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
/ Monat
|
||
Teilausgleich (α = 0,84) mit konstanter Sollabgabe, also Beginn der Bilanzierung in
|
||
dem Monat, in dem QZ erstmalig < QA ist März
|
||
MQ = 1056,11 10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
Monat Jahr
|
||
Monatssumme
|
||
Zufluss
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
QA
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
ΣΔQZ
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
ΣΔQA
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
ΣΔQZ –
|
||
ΣΔQA
|
||
(10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
)
|
||
Januar
|
||
2014 1610,06 887 - - -
|
||
Februar
|
||
2014 1215,56 887 - - -
|
||
März
|
||
2014 696,73 887 -359,38 -169,11 -190,27
|
||
April
|
||
2014 512,35 887 -903,14 -338,22 -564,92
|
||
Mai
|
||
2014 1042,76 887 -916,48 -507,33 -409,16
|
||
Juni
|
||
2014 968,80 887 -1003,80 -676,43 -327,36
|
||
Juli
|
||
2014 859,25 887 -1200,66 -845,54 -355,11
|
||
August
|
||
2014 658,20 887 -1598,57 -1014,65 -583,92
|
||
September
|
||
2014 626,75 887 -1977,93 -1183,76 -794,17
|
||
Oktober
|
||
2014 988,59 887 -2010,45 -1352,87 -657,58
|
||
November
|
||
2014 1360,56 887 -1506,00 -1521,98 15,98
|
||
Dezember
|
||
2014 1848,70 887 - - -
|
||
Erforderlicher Nutzraum S
|
||
N
|
||
= 794,17 ∙ 10
|
||
3
|
||
m
|
||
3
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 11
|
||
Berechnung des entstehenden Nutzens
|
||
Lineare Interpolation der 2 fehlenden Werte:
|
||
1: f(x=115,5) = 1,955
|
||
2: f(x=102,6) = 0,980
|
||
Schadenserwartungswerte ohne und mit TS berechnen (unten stehende Abbildung ist
|
||
nur zur visuellen Darstellung, nicht nötig für die Lösung der Klausuraufgabe)
|
||
Schadenserwartungswert ohne Talsperre: SE ohne = 0,139554 = 0,140 Mio. €
|
||
Schadenserwartungswert mit Talsperre: SE mit = 0,016004 = 0,016 Mio. €
|
||
Jährlicher Nutzen: SE ohne – SE mit = 0,140 Mio. € – 0,016 Mio. € = 0,124 Mio. €/a
|
||
Nutzen = 124 tausend €
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 12
|
||
2. AUFGABE (W ASSERWIRTSCHAFT )
|
||
Eine Talsperre kann jährlich 20 Mio. m
|
||
3
|
||
Wasser für die Nutzung von Trinkwasser oder
|
||
für die Stromerzeugung verwenden. 8 Francis-Turbinen stehen für die
|
||
Stromerzeugung zur Verfügung. Die Mitarbeiter der Talsperre können 2.100 Stunden
|
||
Arbeit pro Jahr für den Betrieb der Turbinen und die Trinkwasseranlage aufwenden.
|
||
Für den effizienten Betrieb einer Turbine sind jährlich 550.000 m
|
||
3
|
||
Wasser und 220
|
||
Arbeitsstunden notwendig. Für die Nutzung von 0,7 Mio. m
|
||
3
|
||
als Trinkwasser werden
|
||
120 Arbeitsstunden gebraucht. Für den jährlich erzeugten Strom, der mit einer Turbine
|
||
erzeugt wird, erhält der Betreiber der Talsperre 320.000 €. Die Bereitstellung von 0,7
|
||
Mio. m
|
||
3
|
||
Trinkwasser bringt dem Betreiber jährlich Einnahmen von 270.000 €.
|
||
Aufgabe:
|
||
1. Der optimale Betrieb der Talsperre soll mit einer linearen Programmierung
|
||
bestimmt werden, um den Gewinn des Betreibers zu maximieren. Sie sollen
|
||
den Beginn der Rechnung vornehmen, damit ein anderer Mitarbeiter die
|
||
Rechnung später fortsetzen kann.
|
||
Bestimmen Sie die folgenden Größen:
|
||
• Definition der Variablen
|
||
• Definition der Zielfunktion
|
||
• Aufstellen der Restriktionen
|
||
• Aufstellen des Simplex-Tableaus
|
||
• Bestimmung des Pivot-Elements
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 13
|
||
Lösung:
|
||
Definition der Variablen:
|
||
1
|
||
x
|
||
: Anzahl der betriebenen Turbinen
|
||
2
|
||
x
|
||
: Menge an Wasser zur Verwendung als Trinkwasser
|
||
Zielfunktion:
|
||
1 2
|
||
320 270Z x x= +
|
||
(vereinfachend in T€ gerechnet)
|
||
1 2
|
||
320 7 02 0Z x x− − =
|
||
Restriktionen:
|
||
(1)
|
||
1 2
|
||
220 120 2100x x+ ≤
|
||
(Arbeitsstunden)
|
||
(2)
|
||
1
|
||
8x ≤
|
||
(Anzahl Turbinen)
|
||
(3)
|
||
1 2
|
||
0,55 0, 7 20x x+ ≤
|
||
(verfügbares Wasser in Mio. m
|
||
3
|
||
)
|
||
(4)
|
||
1 2
|
||
, 0x x ≥
|
||
(Nicht-Negativitätsrestriktion)
|
||
Vereinfachte Restriktion (1) zu
|
||
1 2
|
||
2, 2 1, 2 21x x+ ≤
|
||
Aufstellen des Simplex-Tableaus:
|
||
j → 0 1 2
|
||
i ↓
|
||
NBV+RS
|
||
→ BV ↓
|
||
RS x1
|
||
|
||
x2
|
||
0 Z 0 -320 -270
|
||
1 y1
|
||
|
||
21 2,2 1,2
|
||
2 y2
|
||
|
||
8 1 0
|
||
s3 y3
|
||
|
||
20 0,55 0,7
|
||
Wahl Pivotspalte
|
||
0
|
||
min( ) min(0, 320, 270) 320
|
||
j
|
||
PS a= = − − = −
|
||
j=s=1
|
||
Wahl Pivotzeile
|
||
0
|
||
21 8 20
|
||
min min , , 8
|
||
2, 2 1 0,5
|
||
i
|
||
is
|
||
a
|
||
PZ
|
||
a
|
||
|
||
|
||
= = =
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
i=r=2
|
||
Pivotelement
|
||
21
|
||
1
|
||
rs
|
||
a a= =
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 14
|
||
3. AUFGABE (W ASSERWIRTSCHAFT )
|
||
Ein Stausee hat eine Kapazität von 4 Millionen Kubikmetern und soll für Wasserkraft
|
||
genutzt werden. Der Speicher wird vierteljährlich durch Wassermanagement verwaltet.
|
||
Die Zuflüsse in den vier Quartalen betragen: 1, 2, 3 und 2 Millionen Kubikmeter. Die
|
||
Turbine hat eine maximale Durchflusskapazität von 3 Millionen Kubikmetern pro
|
||
Quartal. Um den Stausee effizient für die Wasserkraft zu managen, kann die Menge
|
||
des in jedem Quartal abgelassenen Wassers angepasst werden. Das abgelassene
|
||
Wasser erzeugt Energie und generiert dabei Gewinn. Die Gewinne je nach
|
||
Abgabemenge finden Sie in Tabelle 6:
|
||
Tabelle 6. Gewinn, der pro Abgabemenge erzielt wird.
|
||
Abgabe [10
|
||
6
|
||
m
|
||
3
|
||
] Gewinn [10
|
||
5
|
||
€]
|
||
0 0.0
|
||
1 1.0
|
||
2 1.8
|
||
3 2.5
|
||
Der Anfangs- und End-Füllstand des Stausees soll bei 3 bzw. 2 Millionen Kubikmetern
|
||
Wasser bleiben.
|
||
Aufgaben:
|
||
1. Nennen Sie die Entscheidungsvariable und die Zustandsvariable.
|
||
Entscheidungsvariable: Wasserabgabe
|
||
Zustandsvariable: Wasservolumen im Speicher / Stausee
|
||
2. Erstellen Sie einen Plan für die Wasserabgabe über ein Jahr an, um maximalen
|
||
Gewinn zu erzielen. Nutzen Sie dafür die folgenden Tabellen 7 bis 10.
|
||
Maximaler Gewinn: 7.9
|
||
Ausgabeplan: 2, 2, 2, 3 oder 2, 2, 3, 2 oder 2, 3, 2, 2 oder 3, 2, 2, 2 (einer genügt)
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 15
|
||
Detaillierter Lösungsweg:
|
||
Schritt 0: Information extrahieren:
|
||
- Entscheidungsvariable: Abgabemenge 𝑥𝑥
|
||
o 𝑥𝑥 > 0
|
||
o 𝑥𝑥 ≤ 3 (Turbine hat eine maximale Durchflusskapazität von 3 Mio. m
|
||
3
|
||
)
|
||
o 𝑥𝑥 ∊ (0, 1, 2, 3)
|
||
- Zustandsvariable: Wassermenge im Speicher 𝑆𝑆
|
||
o 𝑆𝑆 > 0
|
||
o 𝑆𝑆 ≤ 4 (Stausee hat eine Kapazität von 4 Mio. m
|
||
3
|
||
)
|
||
o 𝑆𝑆 ∊ (0, 1, 2, 3, 4)
|
||
- Resultat: Gewinn 𝑟𝑟
|
||
o Tabelle 6
|
||
- Systemfunktion: 𝑆𝑆
|
||
𝑖𝑖
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
𝑖𝑖−1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
𝑖𝑖
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
𝑖𝑖
|
||
Schritt 1. DP-Tabelle der Endstufe (4) berechnen
|
||
- Schon in Tabelle 7 gegeben
|
||
Schritt 2 DP-Tabelle von Stufen 3, 2 und 1 berechnen
|
||
- DP-Tabelle der Stufe 3 steht in Tabelle 8 zur Verfügung
|
||
Schritt 2-1 DP-Tabelle der Stufe 2 berechnen (Tabelle 9)
|
||
- 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
= 2 (Die Zuflüsse in den vier Quartalen betragen: 1, 2, 3 und 2 Mio m
|
||
3
|
||
)
|
||
Schritt 2-1-1 Resultat (𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) berechnen
|
||
𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
hat fünf Optionen: 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∊ (0, 1, 2, 3, 4) in Annahme
|
||
- 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
hat vier Optionen: 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∊ (0, 1, 2, 3) in Annahme
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0, 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
= 0 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0 + 2 − 0 = 2
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 2, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 4,3
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 0 + 4.3 = 4,3 (Tabelle 9 Spalte 3 Reihe 1)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 1 + 2 − 0 = 3
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 3, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 5
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 0 + 5 = 5 (Tabelle 9 Spalte 3 Reihe 2)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 2 + 2 − 0 = 4
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 4, diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 3 Reihe 3)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 3 + 2 − 0 = 5
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 5 ∉ (0, 1, 2, 3, 4), diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 3 Reihe 4)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 4
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 16
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 6 + 2 − 0 = 6
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 6 ∉ (0, 1, 2, 3, 4) , diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 3 Reihe 5)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 1, 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
= 1 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0 + 2 − 1 = 1
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 1, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 3,6
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1 + 3,6 = 4,6 (Tabelle 9 Spalte 4 Reihe 1)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 1 + 2 − 1 = 2
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 2, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 4,3
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1 + 4,3 = 5,3 (Tabelle 9 Spalte 4 Reihe 2)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 2 + 2 − 1 = 3
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 3, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 5
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1 + 5 = 6 (Tabelle 9 Spalte 4 Reihe 3)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 3 + 2 − 1 = 4
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 4, diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 4 Reihe 4)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 4
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 6 + 2 − 1 = 5
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 6 ∉ (0, 1, 2, 3, 4) , diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 4 Reihe 5)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 2, 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
= 1,8 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0 + 2 − 2 = 0
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 0, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,8
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1,8 + 2,8 = 4,6 (Tabelle 9 Spalte 5 Reihe 1)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 1 + 2 − 2 = 1
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 1, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 3,6
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1,8 + 3,6 = 5,4 (Tabelle 9 Spalte 5 Reihe 2)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 2 + 2 − 2 = 2
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 2, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 4,3
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1,8 + 4,3 = 6,1 (Tabelle 9 Spalte 5 Reihe 3)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 3 + 2 − 2 = 3
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 3, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 5
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 1,8 + 5 = 6,8 (Tabelle 9 Spalte 5 Reihe 4)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 4
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 6 + 2 − 2 = 4
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 4, diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 5 Reihe 5)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 3, 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
= 2,5 (aus Tabelle 6)
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 17
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0 + 2 − 3 = −1
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= −1 ∉ (0, 1, 2, 3, 4) , diese Option ist nicht möglich
|
||
o Leer (Tabelle 9 Spalte 6 Reihe 1)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 0 + 2 − 2 = 0
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 0, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,8
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,5 + 2,8 = 5,3 (Tabelle 9 Spalte 6 Reihe 2)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 1 + 2 − 2 = 1
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 1, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 3,6
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,5 + 3,6 = 6,1 (Tabelle 9 Spalte 6 Reihe 3)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 2 + 2 − 2 = 2
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 2, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 4,3
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,5 + 4,3 = 6,8 (Tabelle 9 Spalte 6 Reihe 4)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3
|
||
o 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
= 3 + 2 − 2 = 3
|
||
o Aus Tabelle 8, wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 3, 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 5
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
2
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2,5 + 5 = 7,5 (Tabelle 9 Spalte 6 Reihe 5)
|
||
Schritt 2-1-2 Optimiertes Resultat 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
, Entscheidungsvariable 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
und Zustandsvariable 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
festlegen
|
||
𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
)
|
||
𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 0 (Tabelle 9 Reihe 1)
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) = 4,6 (aus Tabelle 9 Reihe 1 Spalte 3-6) (Tabelle 9 Reihe 1 Spalte 9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 4,6 dann gibt es zwei Optionen (Tabelle 9 Reihe 1 Spalte 4 / 5), deshalb
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 1 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 2 (in der Klausur muss nur ein Wert angeben werden) (Tabelle 9 Reihe 1
|
||
Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 0 + 2 − 1 = 1 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 0 + 2 − 2 = 0 (Tabelle 9 Reihe 1 Spalte 7)
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1 (Tabelle 9 Reihe 2)
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) = 5,4 (aus Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 3-6) (Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 5,4 dann gibt es eine Option (Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 5), deshalb
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 (Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 1 + 2 − 2 = 1 (Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 7)
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2 (Tabelle 9 Reihe 3)
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) = 6,1 (aus Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 3-6) (Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 6,1 dann gibt es zwei Optionen (Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 5 / 6), deshalb
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 3 (in der Klausur muss nur ein Wert angegeben werden) (Tabelle 9
|
||
Reihe 1 Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 + 2 − 2 = 2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 2 + 2 − 3 = 1 (Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 7)
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3 (Tabelle 9 Reihe 4)
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 18
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) = 6,8 (aus Tabelle 9 Reihe 4 Spalte 3-6) (Tabelle 9 Reihe 4 Spalte 9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 6,8 dann gibt es zwei Optionen (Tabelle 9 Reihe 4 Spalte 5 / 6), deshalb
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 3 (in der Klausur muss nur ein Wert angegeben werden) (Tabelle 9 Reihe
|
||
4 Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 3 + 2 − 2 = 3 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 3 + 2 − 3 = 2 (Tabelle 9 Reihe 4 Spalte 7)
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 4 (Tabelle 9 Reihe 5)
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
2
|
||
) = 7,5 (aus Tabelle 9 Reihe 5 Spalte 3-6) (Tabelle 9 Reihe 5 Spalte 9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 5,4 dann gibt es eine Option (Tabelle 9 Reihe 5 Spalte 6), deshalb 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 3
|
||
(Tabelle 9 Reihe 2 Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
2
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 4 + 2 − 3 = 3 (Tabelle 9 Reihe 5 Spalte 7)
|
||
Schritt 2-2 DP-Tabelle der Stufe 1 berechnen (Tabelle 9)
|
||
- 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
= 1 (Die Zuflüsse in den vier Quartalen betragen: 1, 2, 3 und 2 Mio. m
|
||
3
|
||
)
|
||
Schritt 2-2-1 Resultat (𝑆𝑆
|
||
1
|
||
) berechnen
|
||
𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
𝑅𝑅
|
||
1
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
hat eine Option: 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
= 3 (Der Anfangs- und End-Füllstand des Stausees soll bei 3
|
||
bzw. 2 Mio. m
|
||
3
|
||
liegen)
|
||
- 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
hat vier Optionen: 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∊ (0, 1, 2, 3) in Annahme
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 0, 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
= 0 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
= 3, 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 3 + 1 − 0 = 4
|
||
o Aus Tabelle 9, wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 4, 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 7,5
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 0 + 7,5 = 7,5 (Tabelle 10 Spalte 3 Reihe 4)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 1, 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
= 1 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
= 3, 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 3 + 1 − 1 = 3
|
||
o Aus Tabelle 9, wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3, 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 6,8
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 1 + 6,8 = 7,8 (Tabelle 10 Spalte 4 Reihe 4)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 2, 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
= 1,8 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
= 3, 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 3 + 1 − 2 = 2
|
||
o Aus Tabelle 9, wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 2, 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 6,1
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 1,8 + 6,1 = 7,9 (Tabelle 10 Spalte 5 Reihe 4)
|
||
Wenn 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 3, 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
= 2,5 (aus Tabelle 6)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
= 3, 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
= 3 + 1 − 3 = 1
|
||
o Aus Tabelle 9, wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 1, 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 5,4
|
||
o 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
= 𝑟𝑟
|
||
1
|
||
+ 𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2,5 + 5,4 = 7,9 (Tabelle 10 Spalte 6 Reihe 4)
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 19
|
||
Schritt 2-2-2 Optimiertes Resultat festlegen
|
||
𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∗
|
||
𝑅𝑅
|
||
1
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
1
|
||
)
|
||
Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 3 (Tabelle 9 Reihe 1)
|
||
- 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
∗
|
||
= max(𝑅𝑅
|
||
1
|
||
) = 7,9 (aus Tabelle 10 Reihe 4 Spalte 3-6) (Tabelle 10 Reihe 4 Spalte
|
||
9)
|
||
- Wenn 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 7,9 dann gibt es zwei Optionen (Tabelle 9 Reihe 1 Spalte 5 / 6), deshalb
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 3 (in der Klausur muss nur ein Wert angegeben werden) (Tabelle 9 Reihe
|
||
1 Spalte 8)
|
||
- 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
1
|
||
− 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 3 + 1 − 2 = 2 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟 3 + 1 − 3 = 1 (Tabelle 10 Reihe 4 Spalte 7)
|
||
Schritt 3 Plan festlegen
|
||
- In Stufe 1 (Tabelle 10 Reihe 4 Spalte 9) ist es die globale Optimierung und es wird der
|
||
globale optimale Gewinn mit 𝑅𝑅
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 7,9 Mio. m
|
||
3
|
||
erreicht.
|
||
- Dazu ist die optimale Entscheidungsvariable 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 2 (2 oder 3, nur eine Option muss
|
||
gewählt werden) (Tabelle 10 Reihe 4 Spalte 8) und 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 2 (Tabelle 10 Reihe 4 Spalte
|
||
8)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 2 (Tabelle 9 Reihe 3) dann ist die optimale Entscheidungsvariable
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 (2 oder 3, nur eine muss gewählt werden) (Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 8), 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2
|
||
(2 oder 1, nur eine muss gewählt werden) (Tabelle 9 Reihe 3 Spalte 7)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2 (Tabelle 8 Reihe 3) dann ist die optimale Entscheidungsvariable
|
||
𝑥𝑥
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2 (2 oder 3, nur eine muss gewählt werden) (Tabelle 8 Reihe 3 Spalte 8), 𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 3
|
||
(3 oder 2, nur eine muss gewählt werden) (Tabelle 8 Reihe 3 Spalte 7)
|
||
- Wenn 𝑆𝑆
|
||
3
|
||
= 𝑆𝑆
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 3 (Tabelle 7 Reihe 4) dann ist die optimale Entscheidungsvariable𝑥𝑥
|
||
4
|
||
∗
|
||
=
|
||
3 (Tabelle 7 Reihe 4 Spalte 8)
|
||
- Ein optimierter Plan steht: 𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∗
|
||
= 2, 𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
= 2, 𝑥𝑥
|
||
3
|
||
∗
|
||
= 2, 𝑥𝑥
|
||
4
|
||
∗
|
||
= 4
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 20
|
||
Tabelle 7. Erste Hilfstabelle für die Dynamische Programmierung.
|
||
𝑆𝑆
|
||
3
|
||
𝑆𝑆
|
||
3
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
0 1 2 3
|
||
𝑆𝑆
|
||
4
|
||
∗
|
||
𝑥𝑥
|
||
4
|
||
∗
|
||
𝑅𝑅
|
||
4
|
||
∗
|
||
0 2 0 2 0 0.0
|
||
1 3 1 2 1 1.0
|
||
2 4 1.8 2 2 1.8
|
||
3 5 2.5 2 3 2.5
|
||
4 6
|
||
Tabelle 8. Zweite Hilfstabelle für die Dynamische Programmierung.
|
||
𝑆𝑆
|
||
2
|
||
𝑆𝑆
|
||
2
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
0 1 2 3
|
||
𝑆𝑆
|
||
3
|
||
∗
|
||
𝑥𝑥
|
||
3
|
||
∗
|
||
𝑅𝑅
|
||
3
|
||
∗
|
||
0 3 2.5 2.8 2.8 2.5 2 / 1 1 / 2 2.8
|
||
1 4 3.5 3.6 3.5 2 2 3.6
|
||
2 5 4.3 4.3 3 / 2 2 / 3 4.3
|
||
3 6 5.0 3 3 5.0
|
||
4 7
|
||
Tabelle 9. Dritte Hilfstabelle für die Dynamische Programmierung.
|
||
𝑆𝑆
|
||
1
|
||
𝑆𝑆
|
||
1
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
0 1 2 3
|
||
𝑆𝑆
|
||
2
|
||
∗
|
||
𝑥𝑥
|
||
2
|
||
∗
|
||
𝑅𝑅
|
||
2
|
||
∗
|
||
0 2 4.3 4.6 4.6 1 / 0 1 / 2 4.6
|
||
1 3 5.0 5.3 5.4 5.3 1 2 5.4
|
||
2 4 6.0 6.1 6.1 2 / 1 2 / 3 6.1
|
||
3 5 6.8 6.8 3 / 2 2 / 3 6.8
|
||
4 6 7.5 3 3 7.5
|
||
Tabelle 10. Vierte Hilfstabelle für die Dynamische Programmierung.
|
||
𝑆𝑆
|
||
0
|
||
𝑆𝑆
|
||
0
|
||
+ 𝑍𝑍𝑢𝑢
|
||
0 1 2 3
|
||
𝑆𝑆
|
||
1
|
||
∗
|
||
𝑥𝑥
|
||
1
|
||
∗
|
||
𝑅𝑅
|
||
1
|
||
∗
|
||
0 1
|
||
1 2
|
||
2 3
|
||
3 4 7.5 7.8 7.9 7.9 2 / 1 2 / 3 7.9
|
||
4 5
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 21
|
||
4. AUFGABE (W ASSERWIRTSCHAFT )
|
||
In einem landwirtschaftlich geprägten Einzugsgebiet (A
|
||
E
|
||
= 32,7 km
|
||
2
|
||
) im Münsterland
|
||
soll die Wasserversorgung einer Gemeinde überprüft werden, um zukünftige Einflüsse
|
||
des Klimawandels besser abfedern zu können. Bisher wird dies durch Verrieselung
|
||
von Oberflächenwasser gewährleistet. Es muss hier aber eine zusätzliche
|
||
Wasseraufbereitung installiert werden. Eine Alternative wäre der Bau von Brunnen zur
|
||
Grundwasserentnahme. Eine weitere Alternative wäre die Nutzung einer
|
||
nahegelegenen Talsperre für eine Wasserentnahme, hierfür müssen aber neue
|
||
Leitungen verlegt und betrieben werden.
|
||
Aufgaben:
|
||
1. Begründen Sie mit einer Nutzwertanalyse, welche der drei Alternativen
|
||
(Alternative A: Wasseraufbereitung, Alternative B: Bau und Betrieb von
|
||
Grundwasserbrunnen, Alternative C: Bau und Betrieb von Leitungen zur
|
||
Talsperre) für die Wasserversorgung genutzt werden sollte.
|
||
2. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis!
|
||
Bearbeitungshinweise:
|
||
• Die Entscheidungskriterien für die vier Ziele sind: jährliche Betriebskosten
|
||
(Wichtung: 35%), ökologische Auswirkungen (Wichtung: 15%), langfristige
|
||
Schaffung von Arbeitsplätzen (Wichtung: 35%) sowie Flächenbedarf
|
||
(Wichtung: 15%).
|
||
• Nutzen Sie die Angaben in Tabelle 11 sowie in Abbildung 5 bis Abbildung 7.
|
||
Ermitteln Sie den Zielerfüllungsgrad zu den ökologischen Auswirkungen und
|
||
zur Schaffung von Arbeitsplätzen grafisch, die beiden anderen
|
||
Zielerfüllungsgrade rechnerisch.
|
||
• Für die richtige Berechnung nach der Formel in Abbildung 5 muss der Winkel
|
||
des Arkustangens in Bogenmaß (Radiant) angegeben werden. Sollte Ihr
|
||
Taschenrechner das Ergebnis der Arkustangens-Funktion in Grad
|
||
berechnen, müssen Sie dieses Zwischenergebnis der Funktion mit π/180
|
||
multiplizieren, um auf Bogenmaß umzurechnen und zu einem korrekten
|
||
Ergebnis zu kommen.
|
||
• Rechnen Sie mit drei Nachkommastellen!
|
||
Tabelle 11. Zieldaten der drei Alternativen
|
||
Wasser-
|
||
aufbereitung
|
||
Grundwasser-
|
||
brunnen
|
||
Leitungen zur
|
||
Talsperre
|
||
Jährliche Betriebskosten [k€]
|
||
220 165 180
|
||
Schaffung Arbeitsplätze [Anzahl]
|
||
9 7 5
|
||
Flächenbedarf [ha]
|
||
3 10 8
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 22
|
||
Abbildung 5. Zielerfüllungsgrad für „Jährliche Betriebskosten“.
|
||
Abbildung 6. Zielerfüllungsgrad für „Ökologische Auswirkungen“.
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 23
|
||
Abbildung 7. Zielerfüllungsgrad für „Langfristige Schaffung von
|
||
Arbeitsplätzen“.
|
||
Lösung Nutzwertanalyse
|
||
Ermittlung des Zielerfüllungsgrads bzgl. der jährlichen Betriebskosten der
|
||
verschiedenen Alternativen über die Formel in Abbildung 5:
|
||
Wenn Taschenrechner den Arkustangens in Grad berechnet, dann muss mit dieser
|
||
Formel gerechnet werden:
|
||
Wasseraufbereitung
|
||
Wasseraufbereitung: = 0,238
|
||
Grundwasserbrunnen: = 0,851
|
||
Leitungen aus Talsperre: = 0,762
|
||
𝑦𝑦 =
|
||
1
|
||
3
|
||
�−
|
||
arctan
|
||
�
|
||
𝑥𝑥 − 200
|
||
20
|
||
�
|
||
+ 1,5
|
||
�
|
||
𝑦𝑦 =
|
||
1
|
||
3
|
||
�−
|
||
|
||
𝜋𝜋
|
||
180
|
||
arctan
|
||
�
|
||
𝑥𝑥 − 200
|
||
20
|
||
�
|
||
+ 1,5
|
||
�
|
||
|
||
REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 24
|
||
Zielerfüllungsgrade ökologische Auswirkungen:
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Wasseraufbereitung: Zielerfüllungsgrad 0,8
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Grundwasserbrunnen: Zielerfüllungsgrad 0,6
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Leitungen aus Talsperre: Zielerfüllungsgrad 0,4
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Zielerfüllungsgrade Schaffung von Arbeitsplätzen:
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Wasseraufbereitung: Zielerfüllungsgrad 0,7
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Grundwasserbrunnen: Zielerfüllungsgrad 0,6
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Leitungen aus Talsperre: Zielerfüllungsgrad 0,5
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Zielerfüllungsgrade Flächenbedarf:
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Wasseraufbereitung: Zielerfüllungsgrad = 1
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Grundwasserbrunnen: Zielerfüllungsgrad = 0
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Leitungen aus Talsperre: Zielerfüllungsgrad = 0,286
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Nutzwerte:
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Wasseraufbereitung: 0,598
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Grundwasserbrunnen: 0,598
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Leitungen aus Talsperre: 0,545
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Antwortsatz: Die Alternativen „Wasseraufbereitung“ und „Grundwasserbrunnen“
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haben beide den höchsten Nutzwert. Es muss also noch ein weiteres Kriterium
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herangezogen werden, oder eine andere Methode gewählt werden (oder die Formel
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für die Kosten muss überdacht werden, da es ein sehr schneller Übergang bei der
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Zielerfüllung ist bei relativ nah beieinander liegenden Kosten).
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 25
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THEORIEFRAGEN (W ASSERWIRTSCHAFT )
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1) Welche vier Annahmen zum Optimierungsproblem liegen dem Modell der
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Linearen Programmierung zugrunde?
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2) Beschreiben Sie kurz das Dilemma des technischen Hochwasserschutzes.
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Warum können technische Maßnahmen das Schadensrisiko geschützter
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Gebiete langfristig erhöhen?
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3) Wie ist das Hochwasserrisiko definiert?
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REPETITORIUM – W ASSERBAU UND W ASSERBEWIRTSCHAFTUNG – E RGEBNISSE 26
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4) In Abbildung 8 ist die Stauraumaufteilung einer Talsperre nach DIN 19700
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dargestellt. Ergänzen Sie die fehlenden Bezeichnungen der Stauraumanteile in
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der Abbildung.
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Abbildung 8. Stauraumaufteilung einer Talsperre nach DIN 19700.
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